题目: On the number of zeros of diagonal quartic forms over finite fields

主讲人：洪绍方 教授

时间：2024年12月2日（周一）14:30

地点：理学院楼学习室310

主办单位：理学院

主讲人简介：

洪绍方，四川大学数学学院教授、博士生导师，教育部新世纪优秀人才，四川省学术与技术带头人。1998年6月在四川大学获得理学博士学位，1998年7月至2000年6月，在中国科技大学数学系作博士后研究工作。2002年7月晋升教授。多次访问美国，法国，日本，以色列，韩国，以及香港和台湾等地区著名高校和研究所。于2013年参加在台湾大学举行的世界华人数学家大会，并作45分钟邀请报告。已经在国内外数学期刊发表学术论文百余篇，培养毕业硕士60多名，毕业博士20 多名，其中多人已晋升正高职称。

摘要：

Let $\mathbb{F}_q$ be the finite field of $q=p^m\equiv 1\pmod 4$ elements with $p$ being an odd prime and $m$ being a positive integer. For $c, y\in\mathbb{F}_q$ with $y\in\mathbb{F}_q^*$ non-quartic, let $N_n(c)$ and $M_n(y)$ be the numbers of zeros of $x_1^4+...+x_n^4=c$ and

$x_1^4+...+x_{n-1}^4+yx_n^4=0$, respectively. In 1979, Myerson used Gauss sum and exponential sum to show that the generating function $\sum_{n=1}^{\infty}N_n(0)x^n$ is a rational function in $x$ and presented its explicit expression. In this talk, we make use of the cyclotomic theory and exponential sums to show that the generating functions $\sum_{n=1}^{\infty}N_n(c)x^n$ and $\sum_{n=1}^{\infty}M_{n+1}(y)x^n$ are rational functions in $x$. We also obtain the explicit expressions of these generating functions.

Our result extends Myerson's theorem gotten in 1979.